与えられた関数 $y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3$ について、 (1) $t = x^2 + 2x$ とおいたとき、$y$ を $t$ の式で表す。 (2) $-2 \leq x \leq 1$ のとき、$y$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3$ について、

(1) $t = x^2 + 2x$ とおいたとき、$y$ を $t$ の式で表す。

(2) $-2 \leq x \leq 1$ のとき、$y$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $t$ の式で表す。

まず、$y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3$ を整理する。

$y = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) + x^2 + 2x + 3$

$y = (x^2 + 2x)^2 + (x^2 + 2x) + 3$

ここで、$t = x^2 + 2x$ とおくので、

$y = t^2 + t + 3$

(2) $-2 \leq x \leq 1$ のとき、$y$ の最大値と最小値を求める。

まず、$t = x^2 + 2x$ の範囲を求める。$t$ を平方完成すると、

$t = (x + 1)^2 - 1$

$-2 \leq x \leq 1$ の範囲で、$x = -1$ のとき最小値 $t = -1$ をとる。

また、$x = 1$ のとき最大値 $t = 1^2 + 2(1) = 3$ をとる。

したがって、$-1 \leq t \leq 3$。

次に、$y = t^2 + t + 3$ の $-1 \leq t \leq 3$ における最大値と最小値を求める。

$y$ を平方完成すると、

$y = (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$

$-1 \leq t \leq 3$ の範囲で、$t = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $y = \frac{11}{4}$ をとる。

また、$t = 3$ のとき最大値 $y = 3^2 + 3 + 3 = 15$ をとる。

最小値をとるときの $x$ の値を求める。$t = -\frac{1}{2}$ より、

$x^2 + 2x = -\frac{1}{2}$

$2x^2 + 4x + 1 = 0$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$

ここで、$-2 \leq x \leq 1$ より、$x = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}$ または $x = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} \approx -1.707$, $x = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} \approx -0.293$

どちらも $-2 \leq x \leq 1$ を満たすので、$y$ の最小値を与える $x$ の値は $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$

最大値をとるときの $x$ の値を求める。$t = 3$ より、

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x + 3)(x - 1) = 0$

$x = -3, 1$

$-2 \leq x \leq 1$ より、$x = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t + 3$

(2) 最大値: $15$ ($x=1$ のとき), 最小値: $\frac{11}{4}$ ($x=\frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$ のとき)