次の定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$ (2) $\int_{-2}^{2} \frac{dx}{x^2+4}$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$

(2) $\int_{-2}^{2} \frac{dx}{x^2+4}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1}$ の原始関数は $\arctan(x)$ です。したがって、

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1} = \arctan(x) \Big|_0^{\sqrt{3}}$$

$$= \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$$

(2) $\int_{-2}^{2} \frac{dx}{x^2+4}$

$\frac{1}{x^2+4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1}$ であることに注意すると、

$\int \frac{dx}{x^2+4} = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2})$

$$\int_{-2}^{2} \frac{dx}{x^2+4} = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) \Big|_{-2}^{2}$$

$$= \frac{1}{2} \left(\arctan(1) - \arctan(-1)\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{4}$