数列 $\{a_n\}$ が、$|a_{n+2} - a_{n+1}| \le k |a_{n+1} - a_n|$ ($0 < k < 1$, $n = 1, 2, \dots$) を満たすとき、$\{a_n\}$ がコーシー列であることを示す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$|a_{n+2} - a_{n+1}| \le k |a_{n+1} - a_n|$ ($0 < k < 1$, $n = 1, 2, \dots$) を満たすとき、$\{a_n\}$ がコーシー列であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$|a_{n+1} - a_n|$ を評価する。与えられた不等式を繰り返し用いることで、

$|a_{n+1} - a_n| \le k |a_n - a_{n-1}| \le k^2 |a_{n-1} - a_{n-2}| \le \dots \le k^{n-1} |a_2 - a_1|$

次に、$m > n$ に対して、$|a_m - a_n|$ を評価する。

$|a_m - a_n| = |(a_m - a_{m-1}) + (a_{m-1} - a_{m-2}) + \dots + (a_{n+1} - a_n)|$

三角不等式より、

$|a_m - a_n| \le |a_m - a_{m-1}| + |a_{m-1} - a_{m-2}| + \dots + |a_{n+1} - a_n|$

先程の評価を用いると、

$|a_m - a_n| \le k^{m-2} |a_2 - a_1| + k^{m-3} |a_2 - a_1| + \dots + k^{n-1} |a_2 - a_1|$

$|a_m - a_n| \le (k^{n-1} + k^n + \dots + k^{m-2}) |a_2 - a_1|$

等比数列の和の公式より、

$|a_m - a_n| \le \frac{k^{n-1} - k^{m-1}}{1 - k} |a_2 - a_1|$

$m \to \infty$ より、$k^{m-1} \to 0$ なので、

$|a_m - a_n| \le \frac{k^{n-1}}{1 - k} |a_2 - a_1|$

$\epsilon > 0$ を任意にとる。$0 < k < 1$ より、$\lim_{n \to \infty} \frac{k^{n-1}}{1 - k} = 0$ であるから、ある自然数 $N$ が存在して、$n > N$ ならば、

$\frac{k^{n-1}}{1 - k} |a_2 - a_1| < \epsilon$

したがって、$m > n > N$ ならば、$|a_m - a_n| < \epsilon$ となる。

これは、数列 $\{a_n\}$ がコーシー列であることの定義である。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ はコーシー列である。