関数 $y = \sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta}$ の $0 \le \theta < 2\pi$ における最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta}$ の $0 \le \theta < 2\pi$ における最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。$y = a \sin{\theta} + b \cos{\theta}$ は、$y = \sqrt{a^2 + b^2} \sin{(\theta + \alpha)}$ と変形できます。ただし、$\cos{\alpha} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin{\alpha} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ です。

この問題では、$a = \sqrt{3}$、 $b = 1$ なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ となります。

したがって、$y = 2 \sin{(\theta + \alpha)}$ となります。

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin{\alpha} = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を求めます。これは、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、$y = 2 \sin{(\theta + \frac{\pi}{6})}$ と変形できます。

$0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ です。

$\sin$ 関数の最大値は $1$、最小値は $-1$ なので、$y$ の最大値は $2 \times 1 = 2$、最小値は $2 \times (-1) = -2$ となります。

最大値を取るとき、$\sin{(\theta + \frac{\pi}{6})} = 1$ なので、$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ となります。よって、$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ です。

最小値を取るとき、$\sin{(\theta + \frac{\pi}{6})} = -1$ なので、$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ となります。よって、$\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$2$ ($\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき)

最小値：$-2$ ($\theta = \frac{4\pi}{3}$ のとき)