$f(x) = -(x-a)^2$ と $g(x) = \log(kx)$ のグラフが点Pで交わり、点Pにおける $f(x)$ の接線と $g(x)$ の接線が直交するとき、$k$ を $a$ で表す問題です。ただし、$k > 0$ とします。

1. 問題の内容

$f(x) = -(x-a)^2$ と $g(x) = \log(kx)$ のグラフが点Pで交わり、点Pにおける $f(x)$ の接線と $g(x)$ の接線が直交するとき、$k$ を $a$ で表す問題です。ただし、$k > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ と $g(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -2(x-a)$

$g'(x) = \frac{1}{x \ln 10} \cdot k = \frac{1}{x \ln 10}$　(底が10の場合)

$g'(x) = \frac{1}{x \ln e} \cdot k = \frac{1}{x}$　(底がeの場合、自然対数)

点Pの $x$ 座標を $p$ とすると、点Pにおける $f(x)$ の接線の傾きは $f'(p) = -2(p-a)$、点Pにおける $g(x)$ の接線の傾きは $g'(p) = \frac{1}{p}$　（底が自然対数の場合）となります。

2つの接線が直交するため、それぞれの傾きの積が -1 となる必要があります。

$f'(p) \cdot g'(p) = -1$

$-2(p-a) \cdot \frac{1}{p} = -1$

$-2(p-a) = -p$

$-2p + 2a = -p$

$2a = p$

したがって、$p = 2a$ となります。

点Pは $f(x)$ と $g(x)$ の交点なので、$f(p) = g(p)$ が成り立ちます。

$f(2a) = -(2a-a)^2 = -a^2$

$g(2a) = \log(k \cdot 2a) = \log(2ka)$　（底が10の場合）

$g(2a) = \ln(k \cdot 2a) = \ln(2ka)$　（底が自然対数の場合）

したがって、

$-a^2 = \log(2ka)$ (底が10の場合)

$10^{-a^2} = 2ka$

$k = \frac{10^{-a^2}}{2a}$

または、

$-a^2 = \ln(2ka)$ (底がeの場合)

$e^{-a^2} = 2ka$

$k = \frac{e^{-a^2}}{2a}$

3. 最終的な答え

対数の底が明記されていませんので、

対数の底が10の場合、$k = \frac{10^{-a^2}}{2a}$

対数の底がeの場合、$k = \frac{e^{-a^2}}{2a}$

です。