関数 $f(x) = \frac{ax^2 + 2x + b}{x^2 + 1}$ は、$x=1$ で極大値 $5$ をとる。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax^2 + 2x + b}{x^2 + 1}$ は、$x=1$ で極大値 $5$ をとる。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が $x=1$ で極大値 $5$ をとるので、以下の2つの条件が成り立つ。

(1) $f(1) = 5$

(2) $f'(1) = 0$

まず、$f(1)=5$ より、

$\frac{a(1)^2 + 2(1) + b}{(1)^2 + 1} = 5$

$\frac{a + 2 + b}{2} = 5$

$a + b + 2 = 10$

$a + b = 8$ ...(1)

次に、$f'(x)$ を求める。

$f(x) = \frac{ax^2 + 2x + b}{x^2 + 1}$

$f'(x) = \frac{(2ax + 2)(x^2 + 1) - (ax^2 + 2x + b)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2ax^3 + 2ax + 2x^2 + 2 - 2ax^3 - 4x^2 - 2bx}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{-2x^2 + (2a - 2b)x + 2}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(1) = 0$ より、

$\frac{-2(1)^2 + (2a - 2b)(1) + 2}{((1)^2 + 1)^2} = 0$

$-2 + 2a - 2b + 2 = 0$

$2a - 2b = 0$

$a = b$ ...(2)

(1) と (2) より、

$a + a = 8$

$2a = 8$

$a = 4$

$b = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$, $b = 4$