2つの曲線 $y = 2\sin x$ と $y = 2\cos x$ によって囲まれる部分の面積 $S$ を、$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で求め、与えられた形式 $S = \text{キ} \sqrt{\text{ク}}$ に当てはまる数字を決定する。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = 2\sin x$ と $y = 2\cos x$ によって囲まれる部分の面積 $S$ を、$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で求め、与えられた形式 $S = \text{キ} \sqrt{\text{ク}}$ に当てはまる数字を決定する。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2\sin x$ と $y = 2\cos x$ の交点を求めます。

$2\sin x = 2\cos x$

$\sin x = \cos x$

$\tan x = 1$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{5\pi}{4}$ が解となります。

次に、積分範囲を決定します。$0 \le x \le 2\pi$ で、$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ の範囲で $2\sin x \ge 2\cos x$ です。なぜなら、$x=\frac{\pi}{2}$を代入すると$2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$と$2\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$となり$2\sin x \ge 2\cos x$が成立するからです。

したがって、面積 $S$ は次の積分で求められます。

$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (2\sin x - 2\cos x) dx$

$= 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx$

$= 2 [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

$= 2 \left[ -\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \right]$

$= 2 \left[ -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]$

$= 2 \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right]$

$= 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{2} \right]$

$= 2(2\sqrt{2})$

$= 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$S = 4\sqrt{2}$

キ = 4

ク = 2