(1) 無限級数 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} + \dots$ が収束することを示し、その和を求めよ。 (2) 無限級数 $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} + \dots$ が発散することを示せ。

1. 問題の内容

(1) 無限級数 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} + \dots$ が収束することを示し、その和を求めよ。

(2) 無限級数 $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} + \dots$ が発散することを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

部分分数分解を利用する。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

部分和 $S_n$ を計算する。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

無限級数の和を求める。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1}) = 1 - 0 = 1$

よって、この無限級数は収束し、その和は1である。

(2)

分母の有理化を行う。

$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n+1 - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

部分和 $S_n$ を計算する。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

$S_n = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

$S_n = \sqrt{n+1} - 1$

無限級数の和を考える。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - 1) = \infty$

よって、この無限級数は発散する。

3. 最終的な答え

(1) 無限級数は収束し、その和は1である。

(2) 無限級数は発散する。