問題は、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の不等式、方程式を解く問題です。 (1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$ (2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ (3) $4\sin^2\theta = 1$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の不等式、方程式を解く問題です。

(1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

(3) $4\sin^2\theta = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$です。

$\cos\theta < \frac{1}{2}$となる範囲は、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$です。

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\tan x = \sqrt{3}$となる$x$は、$x = \frac{\pi}{3} + n\pi$（$n$は整数）です。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$

$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$

$n=0$のとき、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

$n=1$のとき、$\theta = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}$

$n=2$のとき、$\theta = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} > 2\pi$

よって、$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $4\sin^2\theta = 1$

$\sin^2\theta = \frac{1}{4}$

$\sin\theta = \pm\frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$