与えられた三角関数の式をそれぞれ計算し、その値を求める問題です。 (1) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2$ (2) $(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta) - \frac{1}{1 + \tan^2\theta}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式をそれぞれ計算し、その値を求める問題です。

(1) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2$

(2) $(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta) - \frac{1}{1 + \tan^2\theta}$

2. 解き方の手順

(1)

$(\sin\theta + \cos\theta)^2$と$(\sin\theta - \cos\theta)^2$をそれぞれ展開し、整理します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

これらの式を足し合わせると、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2 = (\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + (\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta$

$= 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$

三角関数の基本公式$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$を使うと、

$2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 2(1) = 2$

(2)

$(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta)$を展開し、整理します。

$(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta) = 1 - \sin^2\theta$

三角関数の基本公式$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$となります。

また、三角関数の公式$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$を使います。

したがって、$\frac{1}{1 + \tan^2\theta} = \cos^2\theta$

$(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta) - \frac{1}{1 + \tan^2\theta} = \cos^2\theta - \cos^2\theta = 0$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 0