$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の不等式・方程式を解く。 (1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$ (2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ (3) $4\sin^2\theta = 1$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の不等式・方程式を解く。

(1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

(3) $4\sin^2\theta = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$

コサインの値が $\frac{1}{2}$ となる角度を求める。$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ である。

単位円を考えると、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ である。

$\cos\theta < \frac{1}{2}$ となる範囲は、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$ である。

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\tan x = \sqrt{3}$ となる $x$ を求める。$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ である。

したがって、$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$ （$n$ は整数）となる。

$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、

$n=0$ のとき、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

$n=1$ のとき、$\theta = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}$

よって、$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $4\sin^2\theta = 1$

$\sin^2\theta = \frac{1}{4}$

$\sin\theta = \pm \frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$