関数 $y = (\frac{1}{x})^{x^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\frac{1}{x})^{x^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln ((\frac{1}{x})^{x^2})$

$\ln y = x^2 \ln (\frac{1}{x})$

$\ln y = x^2 \ln (x^{-1})$

$\ln y = -x^2 \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分、右辺は積の微分を使用します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -2x \ln x - x^2 \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -2x \ln x - x$

$\frac{dy}{dx} = y(-2x \ln x - x)$

$\frac{dy}{dx} = (\frac{1}{x})^{x^2} (-2x \ln x - x)$

$\frac{dy}{dx} = (\frac{1}{x})^{x^2} (-2x \log x - x)$

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{x})^{x^2} (-2x \log x - x)$