問題は、以下の3つの定積分を求めることです。 (1) $\int_0^{\pi} x\sin x \, dx$ (2) $\int_0^{1} xe^x \, dx$ (3) $\int_1^{2} x\log x \, dx$

## 回答

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの定積分を求めることです。

(1) $\int_0^{\pi} x\sin x \, dx$

(2) $\int_0^{1} xe^x \, dx$

(3) $\int_1^{2} x\log x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^{\pi} x\sin x \, dx$

部分積分法を利用します。$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。したがって、

$$\int x\sin x \, dx = -x\cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x\cos x + \sin x + C$$

定積分は、

$$\int_0^{\pi} x\sin x \, dx = [-x\cos x + \sin x]_0^{\pi} = (-\pi\cos\pi + \sin\pi) - (0\cos0 + \sin0) = (-\pi(-1) + 0) - (0 + 0) = \pi$$

(2) $\int_0^{1} xe^x \, dx$

部分積分法を利用します。$u = x$, $dv = e^x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = e^x$ となります。したがって、

$$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C$$

定積分は、

$$\int_0^{1} xe^x \, dx = [xe^x - e^x]_0^{1} = (1e^1 - e^1) - (0e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$

(3) $\int_1^{2} x\log x \, dx$

部分積分法を利用します。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。したがって、

$$\int x\log x \, dx = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4} + C$$

定積分は、

$$\int_1^{2} x\log x \, dx = [\frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4}]_1^{2} = (\frac{2^2}{2}\log 2 - \frac{2^2}{4}) - (\frac{1^2}{2}\log 1 - \frac{1^2}{4}) = (2\log 2 - 1) - (0 - \frac{1}{4}) = 2\log 2 - 1 + \frac{1}{4} = 2\log 2 - \frac{3}{4}$$

3. 最終的な答え

(1) $\pi$

(2) $1$

(3) $2\log 2 - \frac{3}{4}$