定積分 $\int_{-1}^{1} (x+1)(x-1) dx$ を部分積分法を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x+1)(x-1) dx$ を部分積分法を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

したがって、求める定積分は

$\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx$

$x^2 - 1$ の不定積分は $\frac{1}{3}x^3 - x$ なので、

$\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x \right]_{-1}^{1}$

$= \left( \frac{1}{3}(1)^3 - 1 \right) - \left( \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right)$

$= \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3} - 1$

$= \frac{2}{3} - 2$

$= \frac{2}{3} - \frac{6}{3}$

$= -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3}$