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定積分 $\int_{-3}^{2} (3x^2 - 3) \, dx$ を計算します。

解析学定積分積分不定積分計算
2025/3/26

1. 問題の内容

定積分 ∫−32(3x2−3) dx\int_{-3}^{2} (3x^2 - 3) \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 3x2−33x^2 - 3 の不定積分を求めます。
3x23x^2 の不定積分は x3x^3 であり、33 の不定積分は 3x3x です。したがって、3x2−33x^2 - 3 の不定積分は x3−3x+Cx^3 - 3x + C （CC は積分定数）となります。
次に、定積分の定義に従い、不定積分の x=2x=2 と x=−3x=-3 での値を計算し、その差を求めます。
F(x)=x3−3xF(x) = x^3 - 3x とおくと、
F(2)=23−3(2)=8−6=2F(2) = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2
F(−3)=(−3)3−3(−3)=−27+9=−18F(-3) = (-3)^3 - 3(-3) = -27 + 9 = -18
したがって、定積分の値は
∫−32(3x2−3) dx=F(2)−F(−3)=2−(−18)=2+18=20\int_{-3}^{2} (3x^2 - 3) \, dx = F(2) - F(-3) = 2 - (-18) = 2 + 18 = 20

3. 最終的な答え

20

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