与えられた三角関数の式 $y = 3\sin x + \cos x$ を、$y = \sqrt{\boxed{\text{ア}}} \cos(x - \tan^{-1}\boxed{\text{オ}})$ の形に変形する問題です。ここで、$ \sqrt{\boxed{\text{ア}}} > 0$ かつ $-\pi < \tan^{-1}\boxed{\text{オ}} \le \pi$という条件が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式 $y = 3\sin x + \cos x$ を、$y = \sqrt{\boxed{\text{ア}}} \cos(x - \tan^{-1}\boxed{\text{オ}})$ の形に変形する問題です。ここで、$\sqrt{\boxed{\text{ア}}} > 0$ かつ $-\pi < \tan^{-1}\boxed{\text{オ}} \le \pi$という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x - \alpha)$ と変形できます。ここで、$\cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ となります。

与えられた式 $y = 3\sin x + \cos x$ において、$a = 3$、$b = 1$ です。

まず、$\sqrt{a^2 + b^2}$ を計算します。

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

よって、$y = \sqrt{10} \cos(x - \alpha)$ となります。

次に、$\alpha$ を求めます。

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3$

$\alpha = \tan^{-1} 3$

したがって、$y = \sqrt{10} \cos(x - \tan^{-1} 3)$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 10

オ: 3