定積分 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $9x^2 + 4x + 3$ の不定積分を求めます。

$\int (9x^2 + 4x + 3) \, dx = 9 \int x^2 \, dx + 4 \int x \, dx + 3 \int 1 \, dx$

$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

$\int 1 \, dx = x$

よって、

$\int (9x^2 + 4x + 3) \, dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 3x^3 + 2x^2 + 3x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。定積分を計算する際には積分定数は無視できます。

次に、求めた不定積分を定積分の範囲で評価します。

$\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) \, dx = [3x^3 + 2x^2 + 3x]_{-2}^{0}$

$= (3(0)^3 + 2(0)^2 + 3(0)) - (3(-2)^3 + 2(-2)^2 + 3(-2))$

$= 0 - (3(-8) + 2(4) - 6)$

$= 0 - (-24 + 8 - 6)$

$= 0 - (-22)$

$= 22$

3. 最終的な答え

22