関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。 (2) $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = e^{-2x} + x(-2)e^{-2x} = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = (1-2x)e^{-2x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-2x} > 0$ より、 $1-2x=0$ となる $x$ を求めればよい。

$1-2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}$

次に、$f(x)$ の二階導関数 $f''(x)$ を求める。

$f''(x) = -2e^{-2x} - 2e^{-2x} + 4xe^{-2x} = -4e^{-2x} + 4xe^{-2x} = (4x - 4)e^{-2x} = 4(x-1)e^{-2x}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-2x} > 0$ より、$4(x-1)=0$ となる $x$ を求めればよい。

$4(x-1) = 0 \implies x = 1$

増減表を作成する。

| x | ... | 1/2 | ... | 1 | ... |

|-----------|------------|-----------|------------|-------------|------------|

| f'(x) | + | 0 | - | - | - |

| f''(x) | - | - | - | 0 | + |

| f(x) | 増加(上に凸) | 極大 | 減少(上に凸) | 変曲点 | 減少(下に凸) |

$x=\frac{1}{2}$ のとき、極大値 $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{-2(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2e}$

$x=1$ のとき、$f(1) = 1 \cdot e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

よって、

増減: $x < \frac{1}{2}$ で増加、 $x > \frac{1}{2}$ で減少

極値: $x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$

凹凸: $x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸

変曲点: $x = 1$ で変曲点 $(1, \frac{1}{e^2})$

(2)

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} xe^{-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e^{2x}} = 0$

グラフの概形:

$x < 0$ では $f(x) < 0$

$x = 0$ で $f(0) = 0$

$x \to \infty$ で $f(x) \to 0$

極大値 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2e})$

変曲点 $(1, \frac{1}{e^2})$

3. 最終的な答え

(1)

増減: $x < \frac{1}{2}$ で増加、$x > \frac{1}{2}$ で減少

極値: $x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$

凹凸: $x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸

変曲点: $x = 1$ で変曲点 $(1, \frac{1}{e^2})$

(2)

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

グラフの概形：省略（上記分析結果に基づく）