導関数 $F'(x) = 3x^2 + 8x$ が与えられており、$F(-2) = 3$ であるとき、関数 $F(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x) = 3x^2 + 8x$ が与えられており、$F(-2) = 3$ であるとき、関数 $F(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$\int F'(x) dx = \int (3x^2 + 8x) dx$

$= \int 3x^2 dx + \int 8x dx$

$= 3 \int x^2 dx + 8 \int x dx$

$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C$

$= x^3 + 4x^2 + C$

したがって、$F(x) = x^3 + 4x^2 + C$ となります。

次に、$F(-2) = 3$ という条件を使って積分定数 $C$ を求めます。

$F(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + C = 3$

$-8 + 4(4) + C = 3$

$-8 + 16 + C = 3$

$8 + C = 3$

$C = 3 - 8$

$C = -5$

したがって、$F(x) = x^3 + 4x^2 - 5$ となります。

3. 最終的な答え

$F(x) = x^3 + 4x^2 - 5$