$\int \cos^3 2x dx$ を計算する問題です。$\sin 2x = t$ とおいて変数変換を行い、積分を計算します。

1. 問題の内容

$\int \cos^3 2x dx$ を計算する問題です。$\sin 2x = t$ とおいて変数変換を行い、積分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x = t$ とおくと、 $2 \cos 2x dx = dt$ となります。したがって、$\cos 2x dx = \frac{1}{2}dt$ です。

$\cos^3 2x = \cos^2 2x \cdot \cos 2x$ であり、$\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x$ であるから、

$\cos^3 2x = (1 - \sin^2 2x) \cos 2x$ となります。

よって、

$\int \cos^3 2x dx = \int (1 - \sin^2 2x) \cos 2x dx = \int (1 - t^2) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1 - t^2) dt$

$\frac{1}{2} \int (1 - t^2) dt = \frac{1}{2} (t - \frac{t^3}{3}) + C = \frac{t}{2} - \frac{t^3}{6} + C$

最後に、$t = \sin 2x$ を代入して、

$\frac{\sin 2x}{2} - \frac{\sin^3 2x}{6} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{6} \sin^3 2x + C$