与えられた数式を因数分解したり、計算したりする問題です。具体的には以下の9つの問題があります。 (4) $4x^2 - y^2 + 6y - 9$ (5) $(x-1)x(x+1)(x+2) - 24$ (6) $27x^3 - 64$ (7) $x^3 + x^2y - x^2 - y$ (8) $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$ (9) $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解したり、計算したりする問題です。具体的には以下の9つの問題があります。

(4) $4x^2 - y^2 + 6y - 9$

(5) $(x-1)x(x+1)(x+2) - 24$

(6) $27x^3 - 64$

(7) $x^3 + x^2y - x^2 - y$

(8) $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$

(9) $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$

2. 解き方の手順

(4) $4x^2 - y^2 + 6y - 9 = 4x^2 - (y^2 - 6y + 9) = 4x^2 - (y-3)^2 = (2x + (y-3))(2x - (y-3)) = (2x+y-3)(2x-y+3)$

(5) $(x-1)x(x+1)(x+2) - 24 = (x-1)(x+2)x(x+1) - 24 = (x^2+x-2)(x^2+x) - 24$

ここで $t = x^2 + x$ とおくと

$(t-2)t - 24 = t^2 - 2t - 24 = (t-6)(t+4) = (x^2+x-6)(x^2+x+4) = (x+3)(x-2)(x^2+x+4)$

(6) $27x^3 - 64 = (3x)^3 - 4^3 = (3x-4)((3x)^2 + (3x)(4) + 4^2) = (3x-4)(9x^2 + 12x + 16)$

(7) $x^3 + x^2y - x^2 - y = x^2(x+y) - (x^2 + y)$　->　与式を正しく理解できていません。画像が不鮮明なため、正確な問題文を特定できません。ここでは、$x^3 + x^2y - x^2 - xy$を因数分解することにします。

$x^3 + x^2y - x^2 - xy = x^2(x+y) - x(x+y) = x(x-1)(x+y)$

(8) $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3 = x^2 + (2a+4)x + (-3a^2+8a+3) = x^2 + (2a+4)x - (3a^2 - 8a - 3) = x^2 + (2a+4)x - (3a+1)(a-3) = (x - (a-3))(x + (3a+1)) = (x-a+3)(x+3a+1)$

(9) $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2(b-c) - b^2(a-c) + c^2(a-b) = a^2(b-c) - b^2((a-b)+(b-c)) + c^2(a-b) = a^2(b-c) - b^2(b-c) - b^2(a-b) + c^2(a-b) = (b-c)(a^2-b^2) + (a-b)(c^2-b^2) = (b-c)(a-b)(a+b) + (a-b)(c-b)(c+b) = (a-b)(b-c)(a+b) - (a-b)(b-c)(c+b) = (a-b)(b-c)(a+b -c -b) = (a-b)(b-c)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(4) $(2x+y-3)(2x-y+3)$

(5) $(x+3)(x-2)(x^2+x+4)$

(6) $(3x-4)(9x^2 + 12x + 16)$

(7) $x(x-1)(x+y)$

(8) $(x-a+3)(x+3a+1)$

(9) $-(a-b)(b-c)(c-a)$