全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、集合 $A = \{2, 4, 6\}$、集合 $B = \{3, 6\}$ が与えられています。 以下の3つの集合を求めます。 (1) 集合 $B$ の部分集合をすべて列挙する。 (2) $\overline{A \cup B}$ を求める。 (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、集合 $A = \{2, 4, 6\}$、集合 $B = \{3, 6\}$ が与えられています。

以下の3つの集合を求めます。

(1) 集合 $B$ の部分集合をすべて列挙する。

(2) $\overline{A \cup B}$ を求める。

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 集合 $B$ の部分集合

集合 $B = \{3, 6\}$ の部分集合は、空集合、$\{3\}$、$\{6\}$、$\{3, 6\}$ です。

(2) $\overline{A \cup B}$

まず、$A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{2, 4, 6\} \cup \{3, 6\} = \{2, 3, 4, 6\}$

次に、$\overline{A \cup B}$ を求めます。これは全体集合 $U$ から $A \cup B$ の要素を取り除いたものです。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{2, 3, 4, 6\} = \{1, 5, 7, 8\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

まず、$\overline{A}$ を求めます。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5, 7, 8\}$

次に、$\overline{B}$ を求めます。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{3, 6\} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$

最後に、$\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めます。これは $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 5, 7, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) 集合 $B$ の部分集合: $\emptyset, \{3\}, \{6\}, \{3, 6\}$

(2) $\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 8\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7, 8\}$