12人の生徒を、与えられた条件に従ってグループ分けする方法の数を求める。具体的には、以下の6つの場合に分けて考える。 (1) 7人と5人の2つのグループに分ける。 (2) 6人、4人、2人の3つのグループに分ける。 (3) 6人ずつA, Bの2部屋に入れる。 (4) 6人ずつの2つのグループに分ける。 (5) 8人、2人、2人の3つのグループに分ける。 (6) 3人ずつの4つのグループに分ける。

1. 問題の内容

12人の生徒を、与えられた条件に従ってグループ分けする方法の数を求める。具体的には、以下の6つの場合に分けて考える。

(1) 7人と5人の2つのグループに分ける。

(2) 6人、4人、2人の3つのグループに分ける。

(3) 6人ずつA, Bの2部屋に入れる。

(4) 6人ずつの2つのグループに分ける。

(5) 8人、2人、2人の3つのグループに分ける。

(6) 3人ずつの4つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) 7人と5人の2つのグループに分ける。

12人から7人を選ぶ組み合わせを計算する。残りの5人は自動的に決まる。

${}_{12}C_7 = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

(2) 6人、4人、2人の3つのグループに分ける。

12人から6人を選び、残りの6人から4人を選び、最後に残った2人を選ぶ組み合わせを計算する。

${}_{12}C_6 \times {}_6C_4 \times {}_2C_2 = \frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{4!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 924 \times 15 \times 1 = 13860$

(3) 6人ずつA, Bの2部屋に入れる。

12人からAに入れる6人を選び、残りの6人はBに入る。

${}_{12}C_6 = \frac{12!}{6!6!} = 924$

(4) 6人ずつの2つのグループに分ける。

12人から6人を選び、残りの6人はもう一方のグループに入る。ただし、グループの区別がないため、2で割る必要がある。

$\frac{{}_{12}C_6}{2!} = \frac{924}{2} = 462$

(5) 8人、2人、2人の3つのグループに分ける。

12人から8人を選び、残りの4人から2人を選び、さらに残りの2人から2人を選ぶ。ただし、2人のグループが2つあるため、2!で割る必要がある。

$\frac{{}_{12}C_8 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{2!} = \frac{\frac{12!}{8!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{2} = \frac{495 \times 6 \times 1}{2} = \frac{2970}{2} = 1485$

(6) 3人ずつの4つのグループに分ける。

12人から3人を選び、残りの9人から3人を選び、残りの6人から3人を選び、残りの3人から3人を選ぶ。ただし、4つのグループの区別がないため、4!で割る必要がある。

$\frac{{}_{12}C_3 \times {}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{4!} = \frac{\frac{12!}{3!9!} \times \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1}{4!} = \frac{220 \times 84 \times 20 \times 1}{24} = \frac{369600}{24} = 15400$

3. 最終的な答え

(1) 792通り

(2) 13860通り

(3) 924通り

(4) 462通り

(5) 1485通り

(6) 15400通り