与えられた関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ のグラフ上の点 $(3, -8)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ のグラフ上の点 $(3, -8)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数を求める

関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ の導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 4x - 7$

ステップ2: 接線の傾きを求める

点 $(3, -8)$ における接線の傾き $m$ を求めます。これは、導関数 $y'$ に $x = 3$ を代入することで得られます。

$m = y'(3) = 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$

ステップ3: 接線の方程式を求める

点 $(3, -8)$ を通り、傾きが $5$ の直線の方程式を求めます。点傾斜形の方程式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使用します。

$y - (-8) = 5(x - 3)$

$y + 8 = 5x - 15$

$y = 5x - 15 - 8$

$y = 5x - 23$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 5x - 23$ です。