関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ のグラフ上の点 $(-3, 6)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ のグラフ上の点 $(-3, 6)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数の導関数を求める。

$y' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5x - 6)$

$y' = 6x + 5$

(2) 点 $(-3, 6)$ における接線の傾きを求める。これは、導関数 $y'$ に $x = -3$ を代入することで得られる。

$m = y'(-3) = 6(-3) + 5 = -18 + 5 = -13$

(3) 接線の方程式を求める。点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

この問題では、$(x_1, y_1) = (-3, 6)$ であり、$m = -13$ であるため、

$y - 6 = -13(x - (-3))$

$y - 6 = -13(x + 3)$

$y - 6 = -13x - 39$

$y = -13x - 39 + 6$

$y = -13x - 33$

3. 最終的な答え

$y = -13x - 33$