関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求める問題です。

解析学微分接線導関数関数のグラフ
2025/3/26

1. 問題の内容

関数 y=3x2+8x+7y = -3x^2 + 8x + 7 のグラフ上の点 (3,4)(3,4) における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた関数 y=3x2+8x+7y = -3x^2 + 8x + 7 を微分して、導関数 yy' を求めます。
y=6x+8y' = -6x + 8
(2) x=3x = 3 における導関数の値を求めます。これは、点 (3,4)(3,4) における接線の傾き mm を表します。
m=y(3)=6(3)+8=18+8=10m = y'(3) = -6(3) + 8 = -18 + 8 = -10
(3) 点 (3,4)(3,4) を通り、傾きが m=10m = -10 である直線の方程式を求めます。点傾き式と呼ばれる公式を利用します。
yy1=m(xx1)y - y_1 = m(x - x_1)
ここで (x1,y1)=(3,4)(x_1, y_1) = (3,4)m=10m = -10 なので、
y4=10(x3)y - 4 = -10(x - 3)
(4) 上記の式を整理して、接線の方程式を y=ax+by = ax + b の形にします。
y4=10x+30y - 4 = -10x + 30
y=10x+30+4y = -10x + 30 + 4
y=10x+34y = -10x + 34

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、y=10x+34y = -10x + 34 です。

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