関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = -6x + 8$

(2) $x = 3$ における導関数の値を求めます。これは、点 $(3,4)$ における接線の傾き $m$ を表します。

$m = y'(3) = -6(3) + 8 = -18 + 8 = -10$

(3) 点 $(3,4)$ を通り、傾きが $m = -10$ である直線の方程式を求めます。点傾き式と呼ばれる公式を利用します。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここで $(x_1, y_1) = (3,4)$ 、$m = -10$ なので、

$y - 4 = -10(x - 3)$

(4) 上記の式を整理して、接線の方程式を $y = ax + b$ の形にします。

$y - 4 = -10x + 30$

$y = -10x + 30 + 4$

$y = -10x + 34$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、$y = -10x + 34$ です。