与えられた不定積分 $\int e^{-x} \sin x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int e^{-x} \sin x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。

まず、$u = \sin x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = \cos x \, dx$, $v = -e^{-x}$ となります。部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx$

$= -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx$

次に、$\int e^{-x} \cos x \, dx$ を計算します。

$u = \cos x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = -\sin x \, dx$, $v = -e^{-x}$ となります。部分積分の公式を適用すると、

$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx$

$= -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

したがって、

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

$\int e^{-x} \sin x \, dx$ を $I$ とおくと、

$I = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - I$

$2I = -e^{-x} (\sin x + \cos x)$

$I = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$

3. 最終的な答え

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$