関数 $f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ (ただし $a>0, b \neq 0$) で表される曲線 $C$ が特異点を持つとき、以下の問いに答えます。 (1) $a, b$ が満たすべき条件を求めます。 (2) 曲線 $C$ 上で、$y = mx + n$ が恒等的に満たされる $m, n$ を求めます。 (3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解 $(x, y)$ を求めます。 (4) 曲線 $C$ を図示します。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ (ただし $a>0, b \neq 0$) で表される曲線 $C$ が特異点を持つとき、以下の問いに答えます。

(1) $a, b$ が満たすべき条件を求めます。

(2) 曲線 $C$ 上で、$y = mx + n$ が恒等的に満たされる $m, n$ を求めます。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解 $(x, y)$ を求めます。

(4) 曲線 $C$ を図示します。

2. 解き方の手順

(1) 特異点を持つ条件

特異点を持つとは、$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ となる点が存在することです。まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3ay$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -3ax + 3y^2$

これらが同時に0になる点を求めます。

$3x^2 - 3ay = 0 \Rightarrow x^2 = ay$

$-3ax + 3y^2 = 0 \Rightarrow y^2 = ax$

この連立方程式を解くと、 $x^4 = a^2 y^2 = a^3 x$。 よって $x(x^3-a^3) = 0$。

$x=0$または $x=a$。

$x=0$のとき $y=0$。

$x=a$のとき $y=a$。

したがって、特異点の候補は$(0,0)$と$(a,a)$です。

$(0,0)$が特異点の場合、$f(0,0) = 0^3 - 3a(0)(0) + 0^3 = 0 = b$ となります。しかし、$b \neq 0$ であるため、$(0,0)$は特異点ではありません。

$(a, a)$ が特異点の場合、$f(a, a) = a^3 - 3a(a)(a) + a^3 = a^3 - 3a^3 + a^3 = -a^3 = b$ となります。したがって、$b = -a^3$ が条件です。

(2) $y = mx + n$ が恒等的に満たされる条件

$x^3 - 3axy + y^3 = b$ に $y = mx + n$ を代入します。

$x^3 - 3ax(mx + n) + (mx + n)^3 = b$

$x^3 - 3amx^2 - 3axn + m^3x^3 + 3m^2nx^2 + 3mn^2x + n^3 = b$

$(1 + m^3)x^3 + (3m^2n - 3am)x^2 + (3mn^2 - 3an)x + (n^3 - b) = 0$

これが恒等的に0になるためには、すべての係数が0になる必要があります。

$1 + m^3 = 0$

$3m^2n - 3am = 0$

$3mn^2 - 3an = 0$

$n^3 - b = 0$

$m = -1$

$3n - 3a(-1) = 0 \Rightarrow n = -a$

$3(-1)a^2 - 3a(-a) = 0$

$n^3 - b = 0 \Rightarrow (-a)^3 = b \Rightarrow b = -a^3$

したがって、$m = -1, n = -a$。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解

与えられた式は円錐曲線です。

$x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$

$(x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2) + \frac{3}{4}y^2 - ax - ay + a^2 = 0$

$(x - \frac{1}{2}y)^2 - a(x+y) + \frac{3}{4}y^2 + a^2= 0$

$x^2 - (y+a)x + y^2 - ay + a^2 = 0$

$x = \frac{y+a \pm \sqrt{(y+a)^2 - 4(y^2 - ay + a^2)}}{2}$

$x = \frac{y+a \pm \sqrt{y^2+2ay+a^2-4y^2+4ay-4a^2}}{2}$

$x = \frac{y+a \pm \sqrt{-3y^2 +6ay - 3a^2}}{2}$

$x = \frac{y+a \pm \sqrt{-3(y-a)^2}}{2}$

実数解を持つには、$y = a$ である必要があり、$x = \frac{a+a}{2} = a$ となります。

したがって、$x = a, y = a$。

(4) 曲線Cを図示する

$f(x,y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$

$b = -a^3$ なので、$x^3 - 3axy + y^3 + a^3 = 0$。

これは、原点が特異点となる葉線(Folium of Descartes)を平行移動したものです。

3. 最終的な答え

(1) $b = -a^3$

(2) $m = -1, n = -a$

(3) $(x, y) = (a, a)$

(4) 曲線 $C$ は $x^3 - 3axy + y^3 = -a^3$ で表される葉線。