$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = -\cos^2\theta + \cos\theta + 2$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = -\cos^2\theta + \cos\theta + 2$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \cos\theta$ と置くと、$-1 \le t \le 1$ である。

$y = -t^2 + t + 2$

$= -(t^2 - t) + 2$

$= -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 2$

$= -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{9}{4}$ をとる。

$t = -1$ のとき、最小値 $-(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$ をとる。

(1) 最大値について

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) 最小値について

$\cos\theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{4}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値: $0$ ($\theta = \pi$ のとき)