$y = \cos(5x)$ のグラフの $0 \le x \le \frac{\pi}{15}$ の部分と、$x$軸、$y$軸、直線 $x = \frac{\pi}{15}$ によって囲まれる部分の面積を求めます。

## 問9

1. 問題の内容

$y = \cos(5x)$ のグラフの $0 \le x \le \frac{\pi}{15}$ の部分と、$x$軸、$y$軸、直線 $x = \frac{\pi}{15}$ によって囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

求める面積は、定積分によって計算できます。具体的には、$\cos(5x)$ を $0$ から $\frac{\pi}{15}$ まで積分します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \cos(5x) dx$

ここで、置換積分を行います。

$u = 5x$ とすると、$du = 5dx$ より $dx = \frac{1}{5}du$ となります。

また、$x = 0$ のとき $u = 0$、$x = \frac{\pi}{15}$ のとき $u = 5 \cdot \frac{\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos(u) \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos(u) du$

$\cos(u)$ の積分は $\sin(u)$ なので、

$\frac{1}{5} [\sin(u)]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{5} (\sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0))$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin(0) = 0$ なので、

$\frac{1}{5} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{10}$

## 問10

1. 問題の内容

$y = 8\sin x$ のグラフの $0 \le x \le \pi$ の部分と、直線 $y = 4\sqrt{3}$ によって囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$8\sin x = 4\sqrt{3}$ となる $x$ の値を求めます。

$\sin x = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x \le \pi$ の範囲で $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{3}$ と $x = \frac{2\pi}{3}$ です。

求める面積は、$\frac{\pi}{3}$ から $\frac{2\pi}{3}$ までの区間で、$8\sin x$ と $4\sqrt{3}$ の差を積分することで求められます。

$S = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} (8\sin x - 4\sqrt{3}) dx$

$S = [ -8\cos x - 4\sqrt{3}x ]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}$

$S = (-8\cos(\frac{2\pi}{3}) - 4\sqrt{3}\frac{2\pi}{3}) - (-8\cos(\frac{\pi}{3}) - 4\sqrt{3}\frac{\pi}{3})$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ 、 $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ なので、

$S = (-8(-\frac{1}{2}) - \frac{8\sqrt{3}\pi}{3}) - (-8(\frac{1}{2}) - \frac{4\sqrt{3}\pi}{3})$

$S = (4 - \frac{8\sqrt{3}\pi}{3}) - (-4 - \frac{4\sqrt{3}\pi}{3})$

$S = 4 - \frac{8\sqrt{3}\pi}{3} + 4 + \frac{4\sqrt{3}\pi}{3}$

$S = 8 - \frac{4\sqrt{3}\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$8 - \frac{4\sqrt{3}\pi}{3}$