$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

三角関数の積を和に変換する公式を利用します。具体的には、以下の公式を用います。

$2 \sin x \cos x = \sin 2x$

与えられた式に $\sin 20^\circ$ を掛けて割り、上記の公式を繰り返し適用することで計算を進めます。

まず、$\sin 20^\circ$ を掛けて割ります。

$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$

$2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin 40^\circ$ なので、

$\frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$

さらに、$2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ = \sin 80^\circ$ なので、

$\frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ}$

もう一度、$2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ = \sin 160^\circ$ なので、

$\frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \sin 160^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ}$

$\sin 160^\circ = \sin (180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$ であるから、

$\frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}$