関数 $y = e^{\frac{x}{4}}$ のグラフの $0 \le x \le 4$ の部分と、$x$軸、$y$軸、直線 $x = 4$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\frac{x}{4}}$ のグラフの $0 \le x \le 4$ の部分と、$x$軸、$y$軸、直線 $x = 4$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

求める面積は、関数 $y = e^{\frac{x}{4}}$ を $x = 0$ から $x = 4$ まで積分することで求められます。

積分を計算します。

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\int_0^4 e^{\frac{x}{4}} dx

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$u = \frac{x}{4}$ と置換すると、$du = \frac{1}{4} dx$ より $dx = 4 du$ となります。

また、$x = 0$ のとき $u = 0$ であり、$x = 4$ のとき $u = 1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

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\int_0^1 e^u \cdot 4 du = 4 \int_0^1 e^u du

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$e^u$ の積分は $e^u$ なので、

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4 \int_0^1 e^u du = 4 [e^u]_0^1 = 4(e^1 - e^0) = 4(e - 1)

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3. 最終的な答え

$4(e - 1)$