問題は不定積分 $\int e^{-x} \cos x \, dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は不定積分 $\int e^{-x} \cos x \, dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回適用することで解くことができます。

まず、$u = \cos x$ 、$dv = e^{-x} dx$ と置きます。すると、$du = -\sin x \, dx$ 、$v = -e^{-x}$ となります。部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx$

$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

次に、$\int e^{-x} \sin x \, dx$ を計算するために、再び部分積分を行います。$u = \sin x$ 、$dv = e^{-x} dx$ と置くと、$du = \cos x \, dx$ 、$v = -e^{-x}$ となります。

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x})(\cos x) \, dx$

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx$

これを最初の式に代入します。

$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - (-e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx)$

$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \cos x \, dx$

両辺に $\int e^{-x} \cos x \, dx$ を加えると、

$2 \int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x$

両辺を2で割ると、

$\int e^{-x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x)$

積分定数 $C$ を加えます。

3. 最終的な答え

$\int e^{-x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C$