関数 $y = x^2 e^{-x}$ の第4次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 e^{-x}$ の第4次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の導関数を順に求めていきます。積の微分 $(uv)' = u'v + uv'$ と、合成関数の微分 $(e^{f(x)})' = f'(x)e^{f(x)}$ を利用します。

1階微分:

$y' = (x^2)'e^{-x} + x^2(e^{-x})' = 2xe^{-x} + x^2(-1)e^{-x} = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = (2x-x^2)e^{-x}$

2階微分:

$y'' = (2x-x^2)'e^{-x} + (2x-x^2)(e^{-x})' = (2-2x)e^{-x} + (2x-x^2)(-1)e^{-x} = (2-2x-2x+x^2)e^{-x} = (x^2-4x+2)e^{-x}$

3階微分:

$y''' = (x^2-4x+2)'e^{-x} + (x^2-4x+2)(e^{-x})' = (2x-4)e^{-x} + (x^2-4x+2)(-1)e^{-x} = (2x-4-x^2+4x-2)e^{-x} = (-x^2+6x-6)e^{-x}$

4階微分:

$y^{(4)} = (-x^2+6x-6)'e^{-x} + (-x^2+6x-6)(e^{-x})' = (-2x+6)e^{-x} + (-x^2+6x-6)(-1)e^{-x} = (-2x+6+x^2-6x+6)e^{-x} = (x^2-8x+12)e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y^{(4)} = (x^2 - 8x + 12)e^{-x}$