次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sqrt{3}}{\sin(x - \frac{\pi}{3})}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sqrt{3}}{\sin(x - \frac{\pi}{3})}$

2. 解き方の手順

$x - \frac{\pi}{3} = t$とおくと、$x \to \frac{\pi}{3}$のとき、$t \to 0$となる。

$x = t + \frac{\pi}{3}$より、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sqrt{3}}{\sin(x - \frac{\pi}{3})} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan(t + \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}}{\sin t}$

三角関数の加法定理より、

$\tan(t + \frac{\pi}{3}) = \frac{\tan t + \tan \frac{\pi}{3}}{1 - \tan t \tan \frac{\pi}{3}} = \frac{\tan t + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan t}$

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\tan(t + \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\tan t + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan t} - \sqrt{3}}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan t + \sqrt{3} - \sqrt{3}(1 - \sqrt{3} \tan t)}{(1 - \sqrt{3} \tan t)\sin t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{\tan t + \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\tan t}{(1 - \sqrt{3} \tan t)\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{4\tan t}{(1 - \sqrt{3} \tan t)\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{4}{(1 - \sqrt{3} \tan t)}\cdot \frac{\tan t}{\sin t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{4}{1 - \sqrt{3} \tan t} \cdot \frac{1}{\cos t} = \frac{4}{1 - 0} \cdot \frac{1}{1} = 4$

3. 最終的な答え

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