(1) $\cos(iz) = \frac{1}{2}$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。 (2) $e^z = 3i$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\cos(iz) = \frac{1}{2}$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。

(2) $e^z = 3i$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos(iz) = \frac{1}{2}$ を解く。

$\cos z$ の定義式 $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ を用いる。

$\cos(iz) = \frac{e^{i(iz)} + e^{-i(iz)}}{2} = \frac{e^{-z} + e^{z}}{2} = \cosh z$ である。

したがって、$\cosh z = \frac{1}{2}$ を解けばよい。

$e^z = X$ とおくと、$\frac{X + \frac{1}{X}}{2} = \frac{1}{2}$。

$X + \frac{1}{X} = 1$

$X^2 + 1 = X$

$X^2 - X + 1 = 0$

$X = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$.

したがって、$e^z = e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$ より、

$z = \pm i\frac{\pi}{3} + 2n\pi i = i(\pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi)$ (n は整数)

(2) $e^z = 3i$ を解く。

$z = x + iy$ とおくと、$e^z = e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x (\cos y + i \sin y) = 3i$.

$e^x \cos y = 0$ かつ $e^x \sin y = 3$.

$e^x > 0$ より、$\cos y = 0$。

したがって、$y = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (n は整数)。

$y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ のとき、$\sin y = 1$ より、$e^x = 3$, $x = \log 3$.

$y = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ のとき、$\sin y = -1$ より、$e^x = -3$ となるが、$e^x > 0$ より不適。

したがって、$z = \log 3 + i(\frac{\pi}{2} + 2n\pi)$ (n は整数)

3. 最終的な答え

(1) $z = i(\pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi)$ (n は整数)

(2) $z = \log 3 + i(\frac{\pi}{2} + 2n\pi)$ (n は整数)