関数 $y = \frac{4x}{x^2+1}$ の増減、凹凸、極値、変曲点を調べてください。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{4x}{x^2+1}$ の増減、凹凸、極値、変曲点を調べてください。

2. 解き方の手順

(1) まず、一階導関数 $y'$ を計算します。

$y' = \frac{4(x^2+1) - 4x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-4x^2 + 4}{(x^2+1)^2} = \frac{4(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$4(1-x^2) = 0$ より、 $x^2 = 1$, よって $x = \pm 1$

(3) 次に、二階導関数 $y''$ を計算します。

$y'' = \frac{d}{dx} \left(\frac{4(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{4(-2x)(x^2+1)^2 - 4(1-x^2) \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4}$

$= \frac{-8x(x^2+1)^2 - 16x(1-x^2)(x^2+1)}{(x^2+1)^4} = \frac{-8x(x^2+1) - 16x(1-x^2)}{(x^2+1)^3}$

$= \frac{-8x^3 - 8x - 16x + 16x^3}{(x^2+1)^3} = \frac{8x^3 - 24x}{(x^2+1)^3} = \frac{8x(x^2 - 3)}{(x^2+1)^3}$

(4) $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$8x(x^2-3) = 0$ より、$x = 0, \pm \sqrt{3}$

(5) 増減表を作成します。

| x | $-\infty$ | $-\sqrt{3}$ | | -1 | | 0 | | 1 | | $\sqrt{3}$ | | $+\infty$ |

| :-------- | :-------- | :-------- | :----- | :-------- | :----- | :-------- | :----- | :-------- | :----- | :-------- | :----- | :-------- |

| $y'$ | - | - | - | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - | - |

| $y''$ | - | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 | + | + |

| y | $\searrow$ | $\searrow$| $\cup$ | $\searrow$| $\cup$ | $\nearrow$| $\cap$ | $\nearrow$| $\cap$ | $\searrow$| $\cup$ | $\searrow$ |

(6) 極値と変曲点を求めます。

極大値: $x=1$ のとき $y = \frac{4}{1+1} = 2$

極小値: $x=-1$ のとき $y = \frac{-4}{1+1} = -2$

変曲点: $x = -\sqrt{3}$ のとき $y = \frac{-4\sqrt{3}}{3+1} = -\sqrt{3}$

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = \sqrt{3}$ のとき $y = \frac{4\sqrt{3}}{3+1} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

増減：

$x<-1$ で減少, $-1<x<1$ で増加, $x>1$ で減少

凹凸：

$x<-\sqrt{3}$ で下に凸, $-\sqrt{3}<x<0$ で上に凸, $0<x<\sqrt{3}$ で下に凸, $x>\sqrt{3}$ で上に凸

極値：

極大値 $(1, 2)$, 極小値 $(-1, -2)$

変曲点：

$(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$