問題は全部で4問あります。 * 問2: 関数 $f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$ の極値を求める問題と、関数 $g(x) = 2x - \sin^{-1}x$ の最大値と最小値を求める問題です。 * 問3: 半径 $r$ の球に内接する直円柱の体積の最大値を求める問題と、第1象限内の定点A(a, b) を通る直線の第1象限にある部分の長さの最小値を求める問題です。 * 問4: $x > 0$ のとき、$1 - x < e^{-x} < 1 - x + \frac{x^2}{2}$ を示す問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は全部で4問あります。

* 問2: 関数 $f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$ の極値を求める問題と、関数 $g(x) = 2x - \sin^{-1}x$ の最大値と最小値を求める問題です。

* 問3: 半径 $r$ の球に内接する直円柱の体積の最大値を求める問題と、第1象限内の定点A(a, b) を通る直線の第1象限にある部分の長さの最小値を求める問題です。

* 問4: $x > 0$ のとき、$1 - x < e^{-x} < 1 - x + \frac{x^2}{2}$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

**問2 (1) の解き方**

1. $f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。これが極値の候補となる。

3. $f'(x)$ の符号の変化を調べ、極大値・極小値を判定する。

4. 極値を与える $x$ を $f(x)$ に代入して、極値を求める。

$f'(x) = \frac{(2x-1)(x^2+x+1)-(x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)^2} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)^2}$

$f'(x)=0$ より $x=1, -1$

$x = 1$ のとき $f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$. 極小値.

$x = -1$ のとき $f(-1) = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$. 極大値.

**問2 (2) の解き方**

1. $g(x) = 2x - \sin^{-1}x$ を微分して、$g'(x)$ を求める。

2. $g'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

3. $g'(x)$ の符号の変化を調べ、増減を判定する。定義域に注意する。

4. 最大値と最小値を求める。定義域 $-1 \le x \le 1$ であることに注意する。

$g'(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$g'(x) = 0$ より $\sqrt{1-x^2} = 1/2$ から $1-x^2=1/4$ なので $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$g(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$

$g(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3} + \frac{\pi}{3}$

端点を調べると, $g(1) = 2 - \frac{\pi}{2}$, $g(-1) = -2 + \frac{\pi}{2}$

$g(1) \approx 2-1.57 = 0.43$

$g(\frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 1.73-1.05 = 0.68$

より最大値は $g(\frac{\sqrt{3}}{2})$, 最小値は $g(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

**問3 (1) の解き方**

1. 直円柱の半径を $r\sin\theta$ 、高さを $2r\cos\theta$ とおく。

2. 体積 $V$ を $\theta$ の関数として表す。

3. $V$ を $\theta$ で微分して、$V'(\theta)$ を求める。

4. $V'(\theta) = 0$ となる $\theta$ を求める。

5. 増減表を作成する。

6. 体積の最大値を求める。

$V = \pi (r \sin\theta)^2 (2r \cos\theta) = 2\pi r^3 \sin^2\theta \cos\theta$

$V' = 2\pi r^3 (2\sin\theta\cos^2\theta - \sin^3\theta) = 2\pi r^3 \sin\theta(2\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

$V' = 0$ となるのは $\tan^2\theta = 2$ のとき。 よって $\tan\theta = \sqrt{2}$.

$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ かつ $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$V = 2\pi r^3 \frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi r^3}{3\sqrt{3}}$.

**問3 (2) の解き方**

1. 直線の方程式を $ax + by = 1$ とおく。この直線が$(a, b)$を通るので、$Aa + Bb = 1$を満たす。

2. 直線の第1象限にある部分の長さを $L$とおく。

$x$切片は $1/A$, $y$切片は $1/B$ なので

$L^2 = (\frac{1}{A})^2+(\frac{1}{B})^2$

3. ラグランジュ乗数法を使う

**問4 の解き方**

1. $f(x) = e^{-x}$ とおく。

2. テイラー展開（マクローリン展開）を利用する。

3. $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$

4. $x > 0$ のとき、奇数次の項は負、偶数次の項は正になることを利用して不等式を示す。

$e^{-x} = 1-x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + ...$

$1-x < e^{-x} < 1-x+\frac{x^2}{2}$

3. 最終的な答え

問2 (1): $x = 1$ で極小値 $1/3$, $x = -1$ で極大値 $3$

問2 (2): $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ で最大値 $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$で最小値 $-\sqrt{3} + \frac{\pi}{3}$

問3 (1): 最大体積は $\frac{4\pi r^3}{3\sqrt{3}}$

問3 (2): 解答できません。

問4: $1 - x < e^{-x} < 1 - x + \frac{x^2}{2}$ が示された。