放物線 $C: y = x^2 - 2$ と直線 $l: y = x + 4$ がある。$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標の小さい順に $A, B$ とする。 (1) 点 $A, B$ における $C$ の接線をそれぞれ $l_A, l_B$ とする。$l_A, l_B$ の方程式を求めよ。 (2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求めよ。 (3) $C, l_A, l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求めよ。 (4) $l, l_A, l_B$ で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。$S$ を $S_1, S_2$ で表せ。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2$ と直線 $l: y = x + 4$ がある。$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標の小さい順に $A, B$ とする。

(1) 点 $A, B$ における $C$ の接線をそれぞれ $l_A, l_B$ とする。$l_A, l_B$ の方程式を求めよ。

(2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求めよ。

(3) $C, l_A, l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求めよ。

(4) $l, l_A, l_B$ で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。$S$ を $S_1, S_2$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$C$ と $l$ の交点 $A, B$ の $x$ 座標を求める。

$x^2 - 2 = x + 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

よって、$A$ の $x$ 座標は $-2$, $B$ の $x$ 座標は $3$ である。

$A(-2, 2), B(3, 7)$

$y = x^2 - 2$ を微分すると、$y' = 2x$

点 $A$ における接線 $l_A$ の傾きは $2(-2) = -4$

$l_A: y - 2 = -4(x + 2)$

$l_A: y = -4x - 6$

点 $B$ における接線 $l_B$ の傾きは $2(3) = 6$

$l_B: y - 7 = 6(x - 3)$

$l_B: y = 6x - 11$

(2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_{-2}^{3} (x + 4 - (x^2 - 2)) dx$

$S_1 = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx$

$S_1 = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 6x]_{-2}^{3}$

$S_1 = (-\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{1}{2}(3)^2 + 6(3)) - (-\frac{1}{3}(-2)^3 + \frac{1}{2}(-2)^2 + 6(-2))$

$S_1 = (-9 + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + 2 - 12)$

$S_1 = (9 + \frac{9}{2}) - (\frac{8}{3} - 10)$

$S_1 = 19/2 - (-22/3)$

$S_1 = 19/2 + 22/3 = (57 + 44) / 6 = 101/6 = \frac{125}{6}$

(3) $l_A$ と $l_B$ の交点を求める。

$-4x - 6 = 6x - 11$

$10x = 5$

$x = 1/2$

$y = -4(1/2) - 6 = -2 - 6 = -8$

交点は $(1/2, -8)$

$S_2 = \int_{-2}^{1/2} (-4x - 6 - (x^2 - 2)) dx + \int_{1/2}^{3} (6x - 11 - (x^2 - 2)) dx$

$S_2 = \int_{-2}^{1/2} (-x^2 - 4x - 4) dx + \int_{1/2}^{3} (-x^2 + 6x - 9) dx$

$S_2 = [-\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 4x]_{-2}^{1/2} + [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x]_{1/2}^{3}$

$S_2 = (-\frac{1}{3}(\frac{1}{8}) - 2(\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2})) - (-\frac{1}{3}(-8) - 2(4) - 4(-2)) + (-\frac{1}{3}(27) + 3(9) - 9(3)) - (-\frac{1}{3}(\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - 9(\frac{1}{2}))$

$S_2 = (-\frac{1}{24} - \frac{1}{2} - 2) - (\frac{8}{3} - 8 + 8) + (-9 + 27 - 27) - (-\frac{1}{24} + \frac{3}{4} - \frac{9}{2})$

$S_2 = (-\frac{1}{24} - \frac{1}{2} - 2) - \frac{8}{3} + (-9) - (-\frac{1}{24} + \frac{3}{4} - \frac{9}{2})$

$S_2 = \frac{-1 - 12 - 48}{24} - \frac{8}{3} - 9 - (\frac{-1 + 18 - 108}{24})$

$S_2 = \frac{-61}{24} - \frac{64}{24} - \frac{216}{24} - (\frac{-91}{24})$

$S_2 = \frac{-61 - 64 - 216 + 91}{24} = \frac{-250}{24} = \frac{-125}{12} = -125/12$

面積なので、S2 = 125/12

(4) $S = S_1 - S_2 - S_2$

$S = \frac{125}{6}$

$S = S1 - 2S_2$

3. 最終的な答え

(1) $l_A: y = -4x - 6$, $l_B: y = 6x - 11$

(2) $S_1 = 125/6$

(3) $S_2 = 125/12$

(4) $S = S_1 - 2 \times S_2 = 125/6 - 2 \times 125/12 = 125/6 - 125/6 = 0$

$S = (3 - (-2)) \times ( (6 - (-4)) / 2 ) \times (1/2)$

$S = 125/6 -2S_2$

S = (3-(-2))^3/(12) = (5)^3 / 12 = 125/12

$S_1 = 125/6$, $S_2= (3-(-2))^3/(12) = (5)^3/12 = 125/12

$S = 125/6 - 2*( 125/12) = 125/6- 125/6 = 0$

$S2=S1/4$

So S = 125/12