$\int e^{2x} \sin{x} dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int e^{2x} \sin{x} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いる。

まず、$u = \sin{x}$ 、$dv = e^{2x} dx$ とおく。すると、$du = \cos{x} dx$ 、$v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となる。

したがって、

$\int e^{2x} \sin{x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin{x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos{x} dx$

次に、$\int e^{2x} \cos{x} dx$ を計算する。$u = \cos{x}$ 、$dv = e^{2x} dx$ とおくと、$du = -\sin{x} dx$ 、$v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となる。

したがって、

$\int e^{2x} \cos{x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos{x} + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin{x} dx$

これを最初の式に代入すると、

$\int e^{2x} \sin{x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin{x} - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} e^{2x} \cos{x} + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin{x} dx \right)$

$\int e^{2x} \sin{x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin{x} - \frac{1}{4} e^{2x} \cos{x} - \frac{1}{4} \int e^{2x} \sin{x} dx$

$\frac{5}{4} \int e^{2x} \sin{x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin{x} - \frac{1}{4} e^{2x} \cos{x}$

$\int e^{2x} \sin{x} dx = \frac{4}{5} \left(\frac{1}{2} e^{2x} \sin{x} - \frac{1}{4} e^{2x} \cos{x}\right)$

$\int e^{2x} \sin{x} dx = \frac{2}{5} e^{2x} \sin{x} - \frac{1}{5} e^{2x} \cos{x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5} e^{2x} \sin{x} - \frac{1}{5} e^{2x} \cos{x} + C$