与えられた積分 $\int x 2^x dx$ を計算する問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x 2^x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。部分積分は次の公式で表されます。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = x$、$dv = 2^x dx$ とします。

すると、$du = dx$ となります。

$v$ を求めるには、$dv = 2^x dx$ を積分します。

$\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

よって、$v = \frac{2^x}{\ln 2}$ となります。(積分定数Cは一旦無視します)

これを部分積分の公式に代入します。

$\int x 2^x dx = x \cdot \frac{2^x}{\ln 2} - \int \frac{2^x}{\ln 2} dx$

$\int x 2^x dx = \frac{x 2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \int 2^x dx$

$\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$ なので、

$\int x 2^x dx = \frac{x 2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2^x}{\ln 2} + C$

$\int x 2^x dx = \frac{x 2^x}{\ln 2} - \frac{2^x}{(\ln 2)^2} + C$

$\int x 2^x dx = 2^x (\frac{x}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^2}) + C$

3. 最終的な答え

$\int x 2^x dx = 2^x (\frac{x}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^2}) + C$