数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 - 3n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 - 3n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。また、$a_1 = S_1$ です。

まず、$a_1$ を計算します。

$S_1 = 2(1)^2 - 3(1) = 2 - 3 = -1$

よって、$a_1 = -1$

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n$ を計算します。

\begin{align*}

a_n &= S_n - S_{n-1} \\

&= (2n^2 - 3n) - [2(n-1)^2 - 3(n-1)] \\

&= 2n^2 - 3n - [2(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3] \\

&= 2n^2 - 3n - (2n^2 - 4n + 2 - 3n + 3) \\

&= 2n^2 - 3n - (2n^2 - 7n + 5) \\

&= 2n^2 - 3n - 2n^2 + 7n - 5 \\

&= 4n - 5

\end{align*}

$a_n = 4n - 5$ が得られました。

ここで、$n=1$ のとき、$a_1 = 4(1) - 5 = -1$ となり、$a_1 = -1$ と一致します。

したがって、$a_n = 4n - 5$ は全ての $n$ に対して成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 4n - 5$