$\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a^2 + b^2$

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a^2 + b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{10} - 3} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} \times \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3} = \frac{\sqrt{10} + 3}{10 - 9} = \sqrt{10} + 3$

$\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$ なので、$3 < \sqrt{10} < 4$ である。

したがって、$3 + 3 < \sqrt{10} + 3 < 4 + 3$ となり、$6 < \sqrt{10} + 3 < 7$ である。

$\sqrt{10} \approx 3.16$ なので、$\sqrt{10} + 3 \approx 6.16$ となり、$\sqrt{10} + 3$ の整数部分は 6 である。

よって、$a = 6$ である。

小数部分 $b$ は、$\sqrt{10} + 3$ から整数部分 $a$ を引いたものなので、

$b = (\sqrt{10} + 3) - a = (\sqrt{10} + 3) - 6 = \sqrt{10} - 3$ である。

最後に、$a^2 + b^2$ を計算する。

$a^2 + b^2 = 6^2 + (\sqrt{10} - 3)^2 = 36 + (10 - 6\sqrt{10} + 9) = 36 + 19 - 6\sqrt{10} = 55 - 6\sqrt{10}$

(1) $a = 6$

(2) $b = \sqrt{10} - 3$

(3) $a^2 + b^2 = 55 - 6\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 6$

(2) $b = \sqrt{10} - 3$

(3) $a^2 + b^2 = 55 - 6\sqrt{10}$