数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$ で定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$ で定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 1$ を $a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha)$ の形に変形することを考えます。

漸化式を展開すると $a_{n+1} = 2a_n - 2\alpha + \alpha = 2a_n - \alpha$ となります。

与えられた漸化式と比較すると、 $-1 = -\alpha$ より $\alpha = 1$ となります。

したがって、漸化式は $a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比2の等比数列であることがわかります。

初項は $b_1 = a_1 - 1 = 4 - 1 = 3$ です。

したがって、$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ となります。

$b_n = a_n - 1$ より、$a_n = b_n + 1$ なので、$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} + 1$