次の4つの数を小さい順に並べよ。 $\log_{\frac{1}{4}}3$, $\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$, $\log_2{\frac{1}{3}}$

1. 問題の内容

次の4つの数を小さい順に並べよ。

$\log_{\frac{1}{4}}3$, $\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$, $\log_2{\frac{1}{3}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を評価します。

$\log_{\frac{1}{4}}3$について、$\frac{1}{4} = 2^{-2}$なので、

$\log_{\frac{1}{4}}3 = \log_{2^{-2}}3 = -\frac{1}{2}\log_23$

$\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$について、$\frac{1}{2} = 2^{-1}$なので、

$\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3} = \log_{2^{-1}}\sqrt{3} = -\log_2{\sqrt{3}} = -\log_2{3^{\frac{1}{2}}} = -\frac{1}{2}\log_23$

$\log_2{\frac{1}{3}}$について、$\log_2{\frac{1}{3}} = \log_2{3^{-1}} = -\log_23$

これらを比較すると、$\log_2 3$は正の数なので、

$-\log_23 < -\frac{1}{2}\log_23 < 0$

したがって、小さい順に$\log_2{\frac{1}{3}}$, $\log_{\frac{1}{4}}3$と$\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$が並びます。

$\log_{\frac{1}{4}}3$と$\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$は同じ値なので、

3. 最終的な答え

$\log_2{\frac{1}{3}}$, $\log_{\frac{1}{4}}3$, $\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$