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与えられた式 $(x+2y+1)(x-2y-1)$ を展開し、整理せよ。

代数学展開因数分解多項式式の整理
2025/5/29

1. 問題の内容

与えられた式 (x+2y+1)(x−2y−1)(x+2y+1)(x-2y-1) を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を (x+(2y+1))(x−(2y+1))(x+(2y+1))(x-(2y+1)) のように見て、和と差の積の公式 A2−B2=(A+B)(A−B)A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) を利用します。
ここで、A=xA = x、B=(2y+1)B = (2y+1) と置くと、
(x+(2y+1))(x−(2y+1))=x2−(2y+1)2 (x+(2y+1))(x-(2y+1)) = x^2 - (2y+1)^2
次に、(2y+1)2(2y+1)^2 を展開します。
(2y+1)2=(2y)2+2(2y)(1)+12=4y2+4y+1 (2y+1)^2 = (2y)^2 + 2(2y)(1) + 1^2 = 4y^2 + 4y + 1
したがって、
x2−(2y+1)2=x2−(4y2+4y+1) x^2 - (2y+1)^2 = x^2 - (4y^2 + 4y + 1)
最後に、かっこの前のマイナスを分配します。
x2−(4y2+4y+1)=x2−4y2−4y−1 x^2 - (4y^2 + 4y + 1) = x^2 - 4y^2 - 4y - 1

3. 最終的な答え

x2−4y2−4y−1x^2 - 4y^2 - 4y - 1

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