放物線 $y=4x^2$、 $y=-x^2$、 $y=ax^2$ がある。点P, Q, R, Sはそれぞれ $y=-x^2$ 上の $x=2$ の点、 $y=-x^2$ 上の $x=1$ の点、 $y=4x^2$ 上の $x=1$ の点、 $y=ax^2$ 上の $x=2$ の点である。 (1) 四角形PQRSが平行四辺形になるときの定数$a$の値を求める。 (2) 四角形PQRSの面積が7であるときの定数$a$の値を求める。ただし、$a>0$とする。

1. 問題の内容

放物線 $y=4x^2$、 $y=-x^2$、 $y=ax^2$ がある。点P, Q, R, Sはそれぞれ $y=-x^2$ 上の $x=2$ の点、 $y=-x^2$ 上の $x=1$ の点、 $y=4x^2$ 上の $x=1$ の点、 $y=ax^2$ 上の $x=2$ の点である。

(1) 四角形PQRSが平行四辺形になるときの定数$a$の値を求める。

(2) 四角形PQRSの面積が7であるときの定数$a$の値を求める。ただし、$a>0$とする。

2. 解き方の手順

(1) 四角形PQRSが平行四辺形である条件を考える。

点P, Q, R, Sの座標を求める。

P: $x=2$なので、$y=-(2^2) = -4$。よって、P(2, -4)。

Q: $x=1$なので、$y=-(1^2) = -1$。よって、Q(1, -1)。

R: $x=1$なので、$y=4(1^2) = 4$。よって、R(1, 4)。

S: $x=2$なので、$y=a(2^2) = 4a$。よって、S(2, 4a)。

PQRSが平行四辺形になる条件は、対辺が平行かつ等しいこと、または対角線が中点で交わることである。ここでは、対角線の中点が一致する条件を使う。

対角線PRの中点Mの座標は、

$M_x = (2+1)/2 = 3/2$

$M_y = (-4+4)/2 = 0$

よって、M(3/2, 0)。

対角線QSの中点Nの座標は、

$N_x = (1+2)/2 = 3/2$

$N_y = (-1+4a)/2$

よって、N(3/2, (-1+4a)/2)。

MとNが一致するとき、PQRSは平行四辺形になるので、

$0 = (-1+4a)/2$

$0 = -1+4a$

$4a = 1$

$a = 1/4$

(2) 四角形PQRSの面積が7であるときの$a$の値を求める。

四角形PQRSの面積は、ベクトルを使うと

$\frac{1}{2} |(x_P - x_R)(y_Q - y_S) - (x_Q - x_S)(y_P - y_R)|$

=$\frac{1}{2} |(2-1)(-1-4a) - (1-2)(-4-4)|$

=$\frac{1}{2} |1(-1-4a) - (-1)(-8)|$

=$\frac{1}{2} |-1-4a - 8|$

=$\frac{1}{2} |-9-4a|$

=$\frac{1}{2} |4a+9|$

面積が7なので、

$\frac{1}{2} |4a+9| = 7$

$|4a+9| = 14$

$4a+9 = 14$の場合、

$4a = 5$

$a = 5/4$

$4a+9 = -14$の場合、

$4a = -23$

$a = -23/4$

ただし、$a>0$なので、$a = 5/4$。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{4}$

(2) $a = \frac{5}{4}$