次の4つの数 $\log_3 2$, $\log_3 \frac{5}{2}$, $\log_1 \sqrt{5}$, 2 を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

次の4つの数 $\log_3 2$, $\log_3 \frac{5}{2}$, $\log_1 \sqrt{5}$, 2 を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの数の値を評価します。

$\log_3 2$, $\log_3 \frac{5}{2}$ は底が3の対数なので、比較しやすそうです。

$2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$ です。

$\log_1 \sqrt{5}$ は定義されていません。底が1の対数は定義されません。問題の指示を無視して、対数の底が10であると仮定します。

$\log_{10} \sqrt{5} = \log_{10} 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_{10} 5$

$\log_{10} 5$ は、$\log_{10} 10 = 1$ より小さい数で、$\log_{10} 1 = 0$ より大きい数なので、0と1の間の数です。したがって、$\frac{1}{2} \log_{10} 5$ も0と1の間の数です。

$\log_3 2$ について考えます。$3^0 = 1 < 2 < 3^1 = 3$ なので、$0 < \log_3 2 < 1$ です。

$\log_3 \frac{5}{2}$ について考えます。$\frac{5}{2} = 2.5$ であり、$3^0 = 1 < 2.5 < 3^1 = 3$ なので、$0 < \log_3 \frac{5}{2} < 1$ です。

ここで、$\log_3 2$ と $\log_3 \frac{5}{2}$ の大小を比較します。底が3で、2よりも $\frac{5}{2}$ の方が大きいので、$\log_3 2 < \log_3 \frac{5}{2}$ が成り立ちます。

$\log_3 9 = 2$ なので、$\log_3 2 < \log_3 \frac{5}{2} < 2$ となります。

$\log_{10} \sqrt{5} = \frac{1}{2} \log_{10} 5 \approx \frac{1}{2} \times 0.7 = 0.35$ 程度です。

$\log_3 2 \approx 0.63$, $\log_3 \frac{5}{2} \approx 0.83$ となります。

したがって、$\log_{10} \sqrt{5} < \log_3 2 < \log_3 \frac{5}{2} < 2$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_{10} \sqrt{5}, \log_3 2, \log_3 \frac{5}{2}, 2$