a, b, cを実数とする。 (1) $a+b=c$のとき、$a^3+b^3+3abc=c^3$が成り立つことを示す。 (2) $a+b \geq c$のとき、$a^3+b^3+3abc \geq c^3$が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

a, b, cを実数とする。

(1) $a+b=c$のとき、$a^3+b^3+3abc=c^3$が成り立つことを示す。

(2) $a+b \geq c$のとき、$a^3+b^3+3abc \geq c^3$が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $a+b=c$のとき、$a^3+b^3+3abc=c^3$を示す。

$a+b=c$を変形して、$c-a=b$とする。

この式を$a^3+b^3+3abc=c^3$に代入することを考える。しかし、直接代入しても証明しづらいので、$a^3+b^3$を変形することから始める。

$a^3+b^3+3abc$を因数分解すると、

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

したがって、

$a^3+b^3+3abc = (a+b)(a^2-ab+b^2)+3abc$

$a+b=c$であるから、

$c(a^2-ab+b^2)+3abc = ca^2-abc+cb^2+3abc = ca^2+2abc+cb^2 = c(a^2+2ab+b^2) = c(a+b)^2$

$a+b=c$より、$c(a+b)^2 = c(c)^2 = c^3$

よって、$a^3+b^3+3abc=c^3$

(2) $a+b \geq c$のとき、$a^3+b^3+3abc \geq c^3$を示す。

(1)と同様に、$a^3+b^3+3abc=(a+b)(a^2-ab+b^2)+3abc=(a+b)(a^2+2ab+b^2) = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)^3$

したがって、$a^3+b^3+3abc = (a+b)^3$

与えられた条件$a+b \geq c$より、$(a+b)^3 \geq c^3$が成り立つ。

よって、$a^3+b^3+3abc \geq c^3$

3. 最終的な答え

(1) $a^3+b^3+3abc=c^3$

(2) $a^3+b^3+3abc \geq c^3$