問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)^2$ を計算することです。画像の他の部分は計算の途中経過であると思われます。

1. 問題の内容

問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)^2$ を計算することです。画像の他の部分は計算の途中経過であると思われます。

2. 解き方の手順

まず、$(k-1)^2$ を展開します。

$(k-1)^2 = k^2 - 2k + 1$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k + 1)$ を計算します。シグマ記号の性質を利用して、それぞれの項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

それぞれの和の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

上記の公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k + 1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n(n+1) + n$

共通因数$n$でくくります。

$= n[\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - (n+1) + 1]$

$= n[\frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - n - 1 + 1]$

$= n[\frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - n]$

$= n[\frac{2n^2 + 3n + 1 - 6n}{6}]$

$= n[\frac{2n^2 - 3n + 1}{6}]$

$= \frac{n(2n^2 - 3n + 1)}{6}$

分子を因数分解します。

$2n^2 - 3n + 1 = (n-1)(2n-1)$

したがって、

$\frac{n(2n^2 - 3n + 1)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$